6.5. Пример расчета фермы на неподвижную нагрузку

Выполним статический расчет фермы, изображенной на рис.6.31.

Для данной фермы , , . Условие (6.1) выполняется: 17=10 2-3=17. Следовательно, необходимое условие статической неопределимости и геометрической неизменяемости фермы выполняется.

Теперь исследуем правильность расстановки связей в ферме. Данная ферма образована двумя жесткими дисками. Контур первого из них ограничен узлами 1,4,6,5,2. Действительно, жесткий диск образован тремя шарнирными треугольниками, к которым двумя стержнями, не лежащими на одной прямой, присоединен узел 5. Второй диск, контур которого ограничен узлами 6,8,7,10,9, также образован тремя шарнирными треугольниками, т.е. представляет собой простейшую ферму. Два диска соединены между собой тремя связями, линии действия которых не параллельны и не пересекаются в одной точке,- в узле 6 и стержнем 5-7. Таким образом, вся конструкция также представляет собой жесткий диск. Он прикреплен к основанию тремя связями, линии действия которых не параллельны и не пересекаются в одной точке. Следовательно, на основе структурного анализа можно сделать вывод, что данная ферма является геометрически неизменяемой.

Определим опорные реакции в ферме. Горизонтальная нагрузка на систему отсутствует, следовательно горизонтальная реакция в левой опоре равна нулю . Поскольку данная ферма симметрична и находится под действием симметричной нагрузки, очевидно, вертикальные реакции и должны быть равными. Найдем их из уравнения проекций всех действующих на систему сил на вертикальную ось: . Следовательно, .

Теперь приступим к определению усилий в стержнях фермы. Прежде всего выделим нулевые стержни. Из рассмотрения узла 5 на основании признака 2 нулевых стержней следует, что стержень 5-6 нулевой.

Мысленно рассечем ферму сечением, изображенным на рис.6.32 и рассмотрим равновесие левой части. Напомним, что положительное значение продольного усилия соответствует растяжению стержня, а отрицательное - сжатию. Поэтому при составлении уравнений равновесия будем считать неизвестные стержневые усилия растягивающими.

Из уравнения моментов относительно точки А находим , а из уравнения моментов относительно точки В (ее положение легко определяется из подобия треугольников А43 и АВС) находим N_3-6=60кН.

Усилие N_4-6 можно определить из уравнения проекций всех сил на вертикальную ось . Угол можно определить, например, из треугольника АВС: . Следовательно, .

Усилия в остальных стержнях левой половины фермы можно найти, например вырезанием узлов 2, 3 и 4.

Рис. 6.33.

Рассмотрим равновесие узла 2 (рис.6.33). Он соединяет три стержня, но в одном из них усилие уже найдено - усилие в стержне 2-5 является сжимающим и равно 40КН. Следовательно, двух уравнений равновесия этого узла будет достаточно, чтобы определить усилия в двух других стержнях. Из треугольника 123 следует, что . Составим уравнения проекций сил на горизонтальную и вертикальную оси: и . Сопоставляя эти два уравнения, учитывая, что , получим: и .

Рис. 6.34.

Рассмотрим равновесие узла 4 (рис.6.34). Он также соединяет три стержня, но в одном из них усилие уже найдено - усилие в стержне 4-6 является сжимающим и равно 22,361кН. Следовательно, двух уравнений равновесия этого узла будет достаточно, чтобы определить усилия в двух других стержнях. Из уравнения проекций сил на горизонтальную ось следует: . Из уравнения проекций сил на вертикальную ось следует:

Рис. 6.35.

Теперь рассмотрим равновесие узла 3 (рис.6.35). Усилия в трех стержнях из четырех, соединяющихся в этом узле, уже известны. Из уравнения проекций всех сил на горизонтальную ось находим . Запишем уравнение проекций сил на вертикальную ось: . Полученное равенство является истинным, что подтверждает правильность полученных значений усилий в стержнях ферм.

Итак, значения усилий в стержнях левой половины фермы определены. Усилия в стержнях на правой половине фермы находятся исходя из симметрии фермы и симметричности приложенной к ней нагрузки. Значения усилий (кН), определенные в результате расчета, приводятся на рис.6.36.

Проверки правильности определения усилий в стержнях фермы также можно осуществить вырезанием узлов или использованием способа сечений.

6.6.Сопоставление балочных ферм различных типов

Перед проектировщиком может встать задача выбора фермы наиболее рациональной конструкции. Под наиболее рациональной понимается такая конструкция, при которой усилия в стержнях фермы оказываются минимальными, что позволяет уменьшить расход материала, а значит и ее собственный вес. Кроме того, необходимо принимать во внимание вопросы, связанные с технологией изготовления, транспортировки и монтажа конструкций ферм.

Рассмотрим четыре фермы, перекрывающие один и тот же пролет -30м, имеющие одинаковую высоту в середине пролета - 5м, характеризующиеся одним и тем же числом панелей- 6 и находящиеся под действием одной и той же нагрузки - ко всем узлам верхнего пояса приложены направленные вертикально вниз силы величиной 10кН, а ко всем узлам нижнего пояса – 30кН.

Первая ферма - с параллельными поясами и нисходящими раскосами (рис.6.37), вторая - с параллельными поясами и треугольной решеткой с дополнительными вертикальными стойками (рис.6.38), третья - с параболическим очертанием верхнего пояса и нисходящими раскосами (рис.6.39), четвертая - треугольная стропильная ферма с нисходящими раскосами (рис.6.40). На рисунках приводятся значения усилий (кН) в стержнях ферм, полученные в результате их статического расчета.

Как и следовало ожидать, стержни верхнего пояса во всех четырех случаях оказались сжатыми, а нижнего - растянутыми.

В балочных фермах с параллельными поясами в стержнях верхнего и нижнего поясов усилия увеличиваются от опор к центру пролета. Поэтому, если стержни верхнего и нижнего поясов выполняются постоянного по длине пролета сечения, то материал стержней поясов вблизи опор используется нерационально. Изготовление же стержней поясов фермы переменного по длине фермы сечения обычно является нерациональным из технологических соображений. Поэтому фермы с параллельными поясами не используют при очень больших пролетах и нагрузках, когда задача экономии материала и облегчения конструкции фермы приобретает особую важность.

Нисходящие раскосы в фермах с параллельными поясами работают на растяжение, восходящие - на сжатие, причем замена раскоса с нисходящего на восходящий приводит к изменению знака усилия в нем, но абсолютная величина усилия остается постоянной.

Балочные фермы с параболическим очертанием верхнего пояса лишены основного недостатка ферм с параллельными поясами. Усилия в стержнях нижнего пояса постоянны по длине пролета, а верхнего пояса - меняются незначительно. Раскосы в такой ферме вообще практически не работают. То есть ферма этого типа представляется наиболее выгодной с точки зрения напряженного состояния. В то же время технология такой фермы несколько сложнее. Поэтому фермы с параболическим или близким к нему, трапецеидальным очертанием верхнего пояса используют для перекрытия весьма больших пролетов и при действии достаточно высокой нагрузки.

В треугольной ферме величины усилий в стержнях заметно выше, чем в фермах других типов. Усилия в верхнем и нижнем поясах распределены крайне неравномерно по длине пролета, увеличиваясь от середины пролета к опорам. Таким образом, треугольные фермы являются наименее выгодными по сравнению с фермами других типов. Их имеет смысл использовать там, где применение ферм других типов нерационально по конструктивным соображениям, например, в качестве стропильных ферм в двускатных зданиях небольшой ширины.

6.7. Расчет ферм на подвижную нагрузку

Подвижной нагрузкой будем называть такую, как правило, вертикальную нагрузку, которая может перемещаться в пределах сооружения. Подобная нагрузка создается, например, движущимся по мосту транспортом или перемещающимися по подкрановым путям мостовыми кранами. При этом усилия, возникающие в сооружении, будут зависеть от положения нагрузки. Будем считать, что нагрузка перемещается по сооружению с небольшими ускорениями, поэтому динамическими эффектами, возникающими при этом можно пренебречь.

Задача расчета сооружений на подвижную нагрузку состоит в определении внутренних усилий в ее сечениях при любом ее положении. В частности, важно найти невыгоднейшее или опасное положение нагрузки, т.е. такое положение, при котором усилие в данном элементе конструкции достигает максимального по модулю значения. По усилиям, возникающим при невыгоднейшем положении груза, и выполняется подбор сечения стержней в системе.

Поскольку фермы часто используются в пролетных строениях мостов, в качестве несущих конструкций эскалаторов в метрополитенах, как стрелы подъемных кранов, их часто приходится рассчитывать на действие подвижной нагрузки.

Расчет стержневых систем на подвижную нагрузку выполняется при помощи линий влияния. Линия влияния внутреннего усилия в каком -либо сечении стержня - график зависимости этого усилия от положения единичной вертикальной силы на ездовой линии.

Рассмотрим вначале простую балку на двух опорах, перекрывающую пролет L (рис.6.41). Построим линии влияния реакции в левой опоре и изгибающего момента в сечении в центре балки.

Пусть единичная сила приложена на расстоянии х от левой опоры. Из условия равенства нулю суммы проекций всех действующих на систему сил на вертикальную ось имеем . Из условия равенства нулю суммы всех приложенных к системе моментов относительно точки А имеем . Отсюда следует, что . График данной зависимости и представляет собой линию влияния опорной реакции (рис.6.41). При построении линий влияния ее положительные ординаты принято откладывать вверх.

Итак, при перемещении груза от левой опоры к правой величина опорной реакции уменьшается от единицы до нуля по линейному закону.

Для построения линии влияния изгибающего момента необходимо рассмотреть два случая, когда груз находится левее и правее рассматриваемого сечения С. В первом случае () выражение для изгибающего момента имеет вид . Во втором случае . Соответственно, линия влияния состоит из двух ветвей (рис.6.41). Изгибающий момент в центре пролета балки равен нулю при нахождении груза на опорах и достигает максимального значения, когда положение единичной силы совпадает с рассматриваемым сечением (при ).

Важно четко уяснить разницу между эпюрой и линией влияния. При построении эпюры определяются внутренние усилия в различных сечениях системы при неподвижной нагрузке, а при построении линии влияния определяется усилие в каком-то одном сечении при разных положениях единичной силы, действующей на систему.

В фермах нагрузка обычно передается на узлы посредством вспомогательных конструкций, например через настил и систему продольных и поперечных балок (рис.6.42). То есть, если единичная сила находится на ездовой линии и не над узлом фермы, то все равно имеет место узловая передача нагрузки, а значит в стержнях фермы не возникает никаких усилий, кроме продольных.

Для построения линий влияния в стержнях ферм применяют те же приемы, что и при определении усилий в них от действия неподвижной нагрузки, в частности способ сечений. Необходимо только задаться координатой единичной силы на ездовой линии и проанализировать зависимость величины усилия в стержне от ее изменения.

В некоторых фермах со сложной решеткой, например шпренгельных, линии влияния могут иметь довольно сложный вид.

В раскосных фермах и фермах с треугольной решеткой ситуация несколько проще. Усилие в стержне при нахождении единичной силы слева от панели (рис.6.43), в которой находится этот стержень, будет меняться по одному закону, при нахождении справа от нее (рис.6.44) - по другому закону, а при нахождении в пределах данной панели (рис.6.45) - по третьему закону. В последнем случае необходимо учитывать, что часть от единичного усилия через вспомогательные конструкции передается на узел, лежащий на ездовой линии, слева от рассматриваемой панели, т.е. на часть фермы слева от сечения, а оставшаяся часть - на узел справа от рассматриваемой панели, т.е. с другой стороны от сечения. Таким образом, линии влияния продольного усилия в стержнях таких ферм в общем случае имеют три участка (рис.6.46), причем часть линии влияния в пределах панели, которой принадлежит данный стержень, носит название передаточной прямой.

После того, как для стержня построена линия влияния, с ее помощью можно решить следующие задачи.

1. Пусть на ездовой линии находится груз величиной Р. Тогда усилие в стержне составит , где y - ордината линии влияния под точкой приложения силы Р. Действительно, y -усилие, возникающее в стержне от действия приложенной в данной точке единичной силы. В силу линейности задачи, при увеличении нагрузки в Р раз, усилие в стержне тоже возрастет во столько же раз.

На основании принципа независимости действия сил, если на ездовой линии имеется система из n сил, то усилие в стержне будет определяться по формуле:

,

(6.3)

где - ордината линии влияния под i-ой силой величиной P_i (рис.6.47). Таким образом, линии влияния могут быть использованы и для определения усилий в стержнях ферм и при действии неподвижной нагрузки. Это может быть удобно, если нужно выполнить большое число расчетов для различных комбинаций нагрузок, приложенных к ферме.

2. Пусть на участке длиной ездовой линии действует равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q. Во избежание недоразумений подчеркнем, что здесь как и ранее, так и далее, считается, что нагрузка приложена к вспомогательным конструкциям, а с них - передается на узлы фермы. В этом случае усилие в стержне фермы определяется по формуле:

,

(6.4)

где - площадь, ограниченная линией влияния под зоной действия нагрузки q (рис.6.48). Действительно, выделим в зоне действия нагрузки q участок бесконечно малой длиной dx (рис.6.48). Элементарная равнодействующая сила, действующая на ферму, с этого участка составляет , а усилие, возникающее от ее действия в стержне, в соответствии с формулой (6.3) составит .Для того, чтобы найти усилие в стержне от действия всей нагрузки, необходимо проинтегрировать dN по длине : .

Очевидно, площадь в (6.4) необходимо определять с учетом знака. То есть, часть площади w снизу от горизонтальной оси учитывается со знаком "минус".

3. Пусть система грузов перемещается по ездовой линии, причем расстояния между грузами остаются постоянными. Такая ситуация имеет место, например, при движении поезда или мостового крана по пролетному строению моста или по подкрановым путям. Невыгоднейшее положение данной системы грузов возможно только при условии, что один из грузов находится над какой-либо вершиной линии влияния (рис.6.49). Подчеркнем, что это условие необходимое, но недостаточное. Иными словами, не при любом подобном положении нагрузки усилие в стержне имеет экстремальное значение.

Например, для случая, приведенного на рис.6.49, усилие от системы грузов в соответствии с (6.3) составляет . При сдвиге системы грузов вправо на величину такую, что ни одна из сил, приложенных к системе, не перейдет при этом через какую-либо вершину линии влияния и не выйдет за пределы фермы, усилие в стержне АВ составит:

.

При сдвиге влево на ту же величину оно составит

.

Здесь и - абсолютные значения изменения ординаты линии влияния под i-м грузом при сдвиге системы грузов вправо и влево соответственно, - абсолютное значение угла наклона линии влияния на i-м ее участке (рис.6.49).

Таким образом, изменение величины усилия в стержне при сдвиге груза вправо составит

,

а при сдвиге влево

.

Очевидно, эти значения могут быть как одного так и разных знаков. Если и оказываются одного знака, то это значит, что при сдвиге системы грузов как вправо так и влево усилие в стержне либо уменьшается, либо увеличивается, то есть оно имеет локальный экстремум.

В то же время, для случая когда ни один из грузов не находится над вершиной линии влияния, величины и могут быть только разных знаков, а значит экстремум усилия в стержне в этом случае невозможен.

Действительно, рассмотрим в качестве примера ситуацию, изображенную на рис.6.50. В этом случае при сдвиге вправо:

, .

А при сдвиге влево:

, .

Сопоставляя выражения для и , можно сделать вывод, что они не могут быть одного знака.

Итак, для поиска максимально и минимально возможных усилий в стержнях фермы при действии на нее подвижной системы грузов достаточно рассматривать только такие положения этой системы, при которых хотя бы один из грузов находится над какой-либо вершиной линии влияния.

6.8. Пример расчета фермы на подвижную нагрузку

Рассмотрим ферму, изображенную на рис.6.31. Необходимо:

1. Используя теорию линий влияния, определить усилие в стержне фермы 2-3 от действия неподвижной системы сил, изображенной на рис.6.31.

2. Определить максимальное и минимальное усилия в стержне фермы 2-3 при движении по ездовой линии (по горизонтали от узла 1 к узлу 10) системы из двух сил (рис.6.51).

3. Определить усилие от постоянной равномерно распределенной нагрузки q=10кН/м, приложенной к поясу фермы, совпадающему с ездовой линией (рис.6.52).

Построим линию влияния для стержня фермы 2-3. Для этого достаточно определить усилие в этом стержне при различных положениях единичной силы на ездовой линии.

Если единичная сила находится на расстоянии х от левой опоры, то реакция в последней будет составлять , а в правой опоре - (рис.6.53).

Cоставим уравнения равновесия узла 2 (рис.6.54):

, , откуда следует, что . Поскольку, нагрузки к узлу 2 не приложены, т.к. он не лежит на ездовой линии, это уравнение справедливо при любом положении грузов на ней. Для определения воспользуемся способом сечений, причем рассмотрим два случая, когда единичный груз находится слева от панели, в которой располагается стержень 2-5 (рис.6.55), и справа от нее (рис.6.56).

Рис. 6.55.

Для первого случая (рис.6.55) уравнения равновесия моментов относительно точки А примет вид:

,

откуда:

.

Следовательно, при нахождении единичного груза слева от рассеченной панели (x<2м)

, а .

Согласно этой формуле, при x=0 ордината линии влияния, как и следовало ожидать, равна нулю, а при x=2м она равна 1/2. По этим точкам строится левая ветвь линии влияния (до точки С на рис.6.57)

Рис. 6.56.

Для второго случая (рис.6.56) из аналогичных рассуждений получим:

,

откуда:

.

Следовательно, при нахождении единичного груза справа от рассеченной панели (x>4м)

, а .

Таким образом, при x=4м ордината линии влияния равна 1 (точка D на рис.6.57), а на правой опоре, как и следовало ожидать -нулю. По этим точкам строится правая ветвь линии влияния, и далее передаточная прямая CD. В рассматриваемом случае ее направление, как мы видим, совпадает с направлением левой ветви линии влияния, а сама линия влияния оказалась симметричной.

Теперь приступим к определению усилий в стержне 2-3.

Для заданной неподвижной узловой нагрузки (рис.6.31) в соответствии с формулой (6.3) найдем величину усилия в стержне:

.

Этот же ответ был получен нами ранее в разделе 6.5 без использования линий влияния, что подтверждает правильность проделанных вычислений.

Наиневыгоднейшим положением подвижной системы двух сил на ездовой линии (рис.6.51) будет положение, когда одна из них находится ровно посередине пролета фермы (рис.6.58), т.к. в этом случае одна из сил оказывается над единственной в рассматриваемом случае вершиной линии влияния. Ордината линии влияния под силой в центре фермы равна 1, ординату под точкой приложения второй силы легко определить из подобия треугольников: , откуда y=0,8 (рис.6.58). В соответствии с (6.3) усилие в стержне составит

.

В силу симметрии линии влияния, в случае, когда над ее вершиной в центре пролета фермы окажется не левая, а правая сила, результат будет тем же.

Построенная линия влияния не имеет отрицательных ординат, следовательно, при любом положении системы сил на ездовой линии в стержне будут возникать только растягивающие усилия. Поэтому, максимальным возможным усилием в стержне 2-3 для рассматриваемой подвижной нагрузки является 36кН, минимальным -0 кН.

Наконец, определим усилие в стержне от действия неподвижной равномерно распределенной по всей длине ездовой линии нагрузки (рис.6.52) q=10 кН/м. Площадь фигуры, ограниченной линией влияния (рис.6.57) составляет . Размерность площади фигуры оказалась такой, поскольку единичная сила, а следовательно и ординаты линии влияния продольного усилия не имеют размерности.

Теперь, в соответствии с формулой (6.4), определим усилие в стержне: .