5.5. Пример расчета арки с затяжкой

Рассмотрим в качестве примера полукруглую арку радиусом R, изображенную на рис.5.19.

Отбрасываем затяжку (рис.5.7), заменяя ее действие усилием Н, и составляем уравнения равновесия (5.12)-(5.15):

Решив эту систему, найдем реакции опор и распор в затяжке: , , Н=Р. Этот же результат можно было получить быстрее: очевидно, , в силу симметрии, а из уравнения следует Н=Р.

Внутренние усилия будем определять в сечениях, положение которых определяется углом . В силу симметрии достаточно рассмотреть только одну половину арки. Изгибающий момент в сечениях арки определяется по формуле (5.8), причем усилие Н рассматривается как внешняя нагрузка. Определение и рассмотрено в пункте 5.4. Расчеты сводятся в таблицу 5.5.

Таблица 5.5.

, градусы	x( )	y( )	- ниже затяжки, - выше затяжки
90	0	0	0	0
75	0,034R	0,259R	0	0,017PR
60+0	0,134R	0,5R	0	0,066PR
60-0	0,134R	0,5R	0	0,066PR
45	0,293R	0,707R	-0,207PR	-0,061PR
30	0,5R	0,866R	-0,366PR	-0,116PR
15	0,741R	0,966R	-0,466PR	-0,096PR
0	R	R	-0,5PR	0

Эпюра изгибающего момента приведена на рис.5.20.

Продольное и перерезывающее усилие определяется по формулам (5.10),(5.11), причем -для любого сечения, а в сечениях, лежащих ниже затяжки, в сечениях, лежащих выше затяжки. Результаты расчетов приводятся в табл.5.6.

Таблица 5.6.

, градусы	- ниже затяжки - выше затяжки	- ниже затяжки - выше затяжки
90	0	-0,5P
75	0,129P	-0,483P
60+0	0,250P	-0,433P
60-0	-0,616P	-0,933P
45	-0,353P	-1,061P
30	-0,067P	-1,116P
15	0,224P	-1,095P
0	0,5P	-P

Эпюры перерезывающей силы и продольного усилия приведены на рис.5.21 и рис.5.22.

Рис. 5.20.

Рис. 5.21.

Рис. 5.22.

5.6. Преимущества и недостатки арок по сравнению с балками

1. Для большинства строительных конструкций таких как перекрытия зданий, пролетные строения мостов и т. п. основной нагрузкой является вертикальная нагрузка, направленная вниз. Легко убедиться, что для такой нагрузки горизонтальные реакции в опорах арки будут направлены навстречу друг другу, т.е. значение распора Н будет положительным (см., например, раздел 5.3 и 5.5).Основным достоинством арочных конструкций является то, что в этом случае, в соответствии с формулой (5.9) изгибающий момент в любом сечении арки всегда меньше, чем в том же сечении соответствующей балки. За счет этого, а также за счет действующих в арке продольных сжимающих усилий, растягивающие напряжения в сечениях арки малы или отсутствуют (рис.5.23).

Это очень важно для каменных и бетонных конструкций, которые, как известно, могут выдерживать высокие сжимающие напряжения, но практически не работают на растяжение.

2. Арочные конструкции отличаются большей эстетичностью.

3. Балочные конструкции значительно более технологичны с точки зрения изготовления, транспортировки и монтажа по сравнению с арочными.

4. Арки передают на опоры значительные горизонтальные усилия (рис.24).

Рис. 5.24.

В связи с этим, опоры арочных конструкций должны быть достаточно мощными, чтобы воспринять эти усилия и передать их на основание. Использование арок с затяжками позволяет значительно уменьшить горизонтальные опорные реакции. Металлическую затяжку применяют, например, для уменьшения нагрузок на пяту каменного свода (рис.5.25).

5.7.Арки рационального очертания

Арка рационального очертания - такая арка, в каждом сечении которой при вертикальной нагрузке данного вида изгибающий момент равен нулю. Чтобы в соответствии с (5.9) необходимо добиться выполнения равенства , т.е. задать очертание арки по формуле

.

(5.16)

Поскольку в центральном шарнире из (5.9) следует

, т.е. .

Подставляя эту формулу в (5.16), получим:

.

(5.17)

Поскольку и f не зависят от координаты x, из (5.17) следует, что y(x) должна быть пропорционально изгибающему моменту в балке, соответствующей рассматриваемой арке.

В соответствии принципом суперпозиций с увеличением нагрузки в k раз все силовые факторы, включая и , также должны увеличится в k раз, а значит соотношение не изменится при пропорциональном изменении нагрузки. Таким образом, если очертание арки y(x) выполнено в соответствии с формулой (5.17) для какой-то нагрузки, то и при пропорциональном ее увеличении или уменьшении моментов в арке не возникнет. Другое дело, если изменится вид нагрузки, например, равномерно распределенная нагрузка будет заменена сосредоточенными силами.

Итак, для построения арки рационального очертания для нагрузки определенного вида достаточно построить эпюру изгибающего момента в балке, соответствующей данной арке, и, задавшись значением f, определить очертание арки по формуле (5.17). В частности, рациональным очертанием для арки, загруженной равномерно распределенной нагрузкой, будет параболическое очертание, поскольку изгибающий момент в соответствующей балке меняется по закону параболы (рис.5.26). На рис.5.27 и рис.5.28 приведены примеры арок рационального очертания для нагрузок других видов.