Статически определимые рамы

4.1. Построение эпюр внутренних усилий в рамах

Проведем построение эпюр внутренних усилий M,Q,N в раме, изображенной на рис. 4.1. Начнем с вычисления опорных реакций, являющихся для рамы вместе с силой P, внешними силами. В двух шарнирных неподвижных опорах неизвестны четыре составляющие опорных реакций: , , , . Направление сил выбираем произвольно. Если в результате расчета значение составляющей получится отрицательным, то направление соответствующего вектора надо будет изменить на противоположное. Проверим условие статической определимости для исследуемой рамы по формуле (1.1): .

Для определения четырех неизвестных сил: , , , запишем три уравнения равновесия для всей системы в целом и используем условие равенства нулю момента в шарнире С:

Здесь момент в сечении с шарниром С вычисляется как момент сил, действующих на часть рамы снизу от шарнира С.

Умножив 4-е уравнение на –2,5 и сложив с 3-ем уравнением, найдем :

Из четвертого уравнения определим =/2=75 (кН). Затем из первого и второго уравнений получим:

На рис.4.2 изображена рассчитываемая рама с найденными опорными реакциями.

Рис. 4.2.

Построение эпюр внутренних усилий начинается с разделения системы на отдельные участки, в пределах которых характер эпюр не изменяется. Граничными точками участков в общем случае являются:

• точки излома оси;
• точки приложения сосредоточенных сил или сосредоточенных моментов;
• граничные точки участков с равномерно распределенной нагрузкой.

Данная рама, таким образом, разбивается на четыре участка I – IY, обозначенные на рис. 4.2,а. Отметим, что все участки незагруженные. Эпюры M на них изменяются по линейному закону, а эпюры Q и N – постоянны.

Рассмотрим построение эпюры M последовательно на каждом участке. Фактически на участках нужно будет определить по две ординаты, через которые проходит эпюра. Участок I. В точке А (шарнир) момент равен нулю. Момент в сечении 1 равен силе , умноженной на плечо 4: (рис. 4.2,б). Сила растягивает в сеч. 1 нижние волокна. По двум точкам 0 и 300 строится линейная эпюра (рис.4.2,б).

Участок II. Для определения момента в сеч. 2 рассмотрим равновесие жесткого узла с сечениями 1 и 2 (рис. 4.2). Момент в сеч. 1 известен и по величине, и по направлению (растягивает нижние волокна). Из условия равновесия узла момент в сеч. 2 должен быть равен по величине и противоположен по направлению моменту в сеч. 1. Перерезывающие и продольные силы не участвуют в моментном уравнении, так как сечения берутся бесконечно близко к угловой точке. Графически условие равновесия узла по моментам эквивалентно переносу ординаты эпюры M из сечения 1 в сечение 2 (рис.4.2,в). Теперь на II участке есть две ординаты, принадлежащие линейной эпюре: момент в сеч. 2, равный 300, и нулевой момент в шарнире С. Проводим через эти две точки прямую в пределах всего участка вплоть до сечения 3 (рис. 4.2,в). Из подобия треугольников определяем ординату в сеч. 3: .

Участок III и IV. Переносим на эпюре момент из сеч. 3 в сеч. 4, следуя условию равновесия жесткого узла по моментам. Вычисляем момент в сеч. 5 (рис. 4.2,г). Строим линейные графики на III участке и IV через ординату и нуль в точке В (рис. 4.2,д).

Проводим пунктир на стержнях рамы, расставляем знаки на эпюре M согласно правилам, изложенным в разделе 2.2.

Перейдем к построению эпюр Q и N. Как отмечалось, эпюры Q и N на участках рамы постоянны, следовательно, для их построения достаточно определить величины и знаки Q и N в одном любом сечении участка.

Исходя из правила, приведенного в разделе 2.1, на рис. 4.3 показано как продольные и перерезывающие силы в некотором сечении определяются из условия равновесия части рамы по одну сторону от сечения. Знаки эпюр находятся по правилам раздела 2.2. Положительное направление оси стержня на каждом участке показано на рис. 4.2,д. Двигаясь в показанном на рисунке направлении по участкам, следим за приращением функции M и определяем знак Q:

Процесс построения эпюр Q и N показан на рис. 4.3. Напомним, что продольные силы, действующие к сечению, считаются отрицательными.

Рис. 4.3.

После построения эпюр необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные внутренние усилия условиям равновесия отдельных частей рамы, прежде всего узлов. Отметим, что моментные уравнения равновесия узлов выполнены в процессе построения эпюры M (см. рис. 4.2). Проверка силовых уравнений приведена на рис. 4.4.

Для определения направления вектора Q в любом сечении изображается вид эпюры моментов вблизи этого сечения и используется правило тупого угла (см. раздел 2.2). Значения Q и N находятся из эпюр. Заметим, что на участках, где Q и N постоянны, не имеет значения, на каком расстоянии от угловой точки проводить сечение.

Кроме равновесия узлов, на рис. 4.4 продемонстрировано равновесие части рамы, находящейся под действием внутренних усилий. Здесь сечения горизонтальных стержней берутся бесконечно близко к вертикальному стержню, иначе пришлось бы пересчитывать значения моментов для новых сечений и учитывать перерезывающие силы в уравнении моментов.

4.2. Пример выполнения задания по статическому расчету рамы

Требуется построить эпюры внутренних усилий в раме, приведенной на рис. 4.5. Построение эпюр опирается на определения, правила и свойства, рассмотренные в разделе 2. Авторы рекомендуют сначала ознакомиться с содержанием этого раздела и сдать соответствующий тест.

Расчет рамы начинаем с определения опорных реакций. Произвольно выберем направления составляющих реакций (рис. 4.5).

Проверим условие статической определимости рамы по формуле (1.1):

.

Разложим для удобства силу на две составляющие:

и .

Запишем систему 5 уравнений равновесия для определения пяти неизвестных сил: .

Сумма проекций всех сил на горизонтальную ось:

Сумма проекций всех сил на вертикальную ось:

Сумма моментов всех сил относительно точки А:

.

Суммарный момент сил, действующих на часть рамы слева от шарнира D:

.

Суммарный момент сил, действующих на часть рамы снизу от шарнира Е:

.

Подставим числовые значения заданных величин и перепишем систему в матричном виде:

(4.1)

(4.1).

Полученную систему линейных алгебраических уравнений можно решить на компьютере, используя, например, пакет Mathcad. Однако часто удается относительно просто найти решение системы, не прибегая к помощи ЭВМ. Для этого нужно рационально выбрать как сами используемые уравнения, так и последовательность их решения.

Например, в рассматриваемой задаче лучше последнее уравнение решить первым и найти : .

Затем из первого уравнения записанной системы определить

.

Далее из четвертого уравнения вычислить .

Зная можно найти или , поэтому заменим третье уравнение системы (4.1):

Наконец, используем второе уравнение и определяем

.

Для контроля правильности найденных опорных реакций проверим уравнение, не использовавшееся в вычислениях:

На рис. 4.6 изображена рассчитываемая рама с приложенными нагрузками и определенными опорными реакциями, причем направление векторов реакций соответствует положительным значениям реакций.

Рис. 4.6.

На том же рисунке указаны участки, на которые разбивается рама для построения эпюр (см. раздел 4.1), и обозначены сечения, где необходимо вычислить ординаты эпюр. Внутренние усилия в отмеченных сечениях определяются из равновесия отдельных частей рамы ( см. рис.4.6 и рис.4.7).

Рис. 4.7.

При записи выражений для моментов в сечениях положительными записаны моменты тех внешних сил, которые дают преобладающий в данном сечении момент. Эти силы определяют направление внешнего результирующего момента. Внутренний момент в сечении действует так, чтобы компенсировать момент внешних сил. По направлению внутреннего момента определяются растянутые в сечении волокна, со стороны которых откладываются ординаты эпюры M.

Процесс построения эпюр в рамах был подробно рассмотрен в разделе 4.1. Вся изложенная методика может быть перенесена на исследуемую раму. Опишем коротко последовательность построения эпюры M. На I участке линейная эпюра моментов строится по ординатам 165 в сеч. 1 и 0 в точке А. Из условия моментного равновесия жесткого узла момент из сеч. 1 на эпюре переносится в сеч. 2. Через полученную точку и нуль в шарнире D изображается линейная эпюра на II участке. По ординате 360 в сеч. 7 и нулю в шарнире Е строится линейная эпюра на V участке. На VI и VII участках линейные эпюры изображаются по ординате 195 в сеч. 8(9) и нулевым значениям в шарнирах Е и С.

На III и IV участках, загруженных равномерно распределенной нагрузкой, для построения эпюр лучше воспользоваться приемами, предложенными в разделе 2.5. Находим моменты в крайних сечениях участков: (см. рис.4.6). Построение парабол эпюры моментов на участках III и IV осуществляется следующим образом (рис. 4.8):

Далее проводим пунктир на всех стержнях рамы и ставим знаки на построенной эпюре M (см. раздел 2.2).

Величины перерезывающих сил Q на незагруженных участках и значения продольных сил N на всех участках найдены на основе определений раздела 2.1 и показаны на рис. 4.6 и рис. 4.7. Эпюры и N построены на рис. 4.7 по правилам раздела 2.2. На участках III и IV эпюры строятся с использованием формулы (2.3). На рис. 4.7 приведено вычисление ординат эпюры перерезывающих сил в крайних сечениях двух участков.

Отметим соответствие построенных в раме эпюр их свойствам (см. раздел 2.4). На незагруженных участках I, II, V, VI, VII эпюра - линейная, а эпюры и N – постоянные. На III и IV участках действует равномерно распределенная нагрузка, перпендикулярная оси стержня. Здесь эпюра - квадратичная парабола; эпюра - линейная; а эпюра - постоянная. В точке приложения перпендикулярной и касательной к оси стержня сосредоточенных сил (сеч. 8 и 9) на эпюрах и имеются скачки по величине равные соответствующим силам.

Последний этап статического расчета состоит в проверке равновесия отдельных частей рамы, находящихся под действием внешних и внутренних сил. Подробно этот вопрос освещен в разделе 4.1. Проверка для данной рамы показана на рис. 4.7.

Подчеркнем, что при проверке моментного уравнения равновесия для узла сечения берутся бесконечно близко к точке пересечения стержней. В этом случае перерезывающие и продольные силы в сечениях не участвуют в уравнении моментов, так как плечи их бесконечно малы. Эту проверку лучше осуществлять сразу после построения эпюры моментов (рис. 4.6).