Правила построения эпюр в стержневых системах. Свойства эпюр

2.1. Правила определения значений внутренних усилий

Основная задача статического расчета стержневой системы – определение внутренних усилий в сечениях стержней и построение эпюр M,Q,N, т.е. графиков изменения усилий вдоль осей стержней.

Как показано в предыдущей главе в статически определимых системах нахождение внутренних усилий в сечениях стержней осуществляется на основе уравнений равновесия, записанных для той или иной части системы. Это дает следующие правила определения величин усилий:

Перерезывающая сила Q в сечении численно равна абсолютному значению алгебраической суммы проекций всех сил, действующих по одну сторону от сечения, на ось, перпендикулярную оси стержня в этом сечении.

Продольная сила N в сечении численно равна абсолютному значению алгебраической суммы проекций всех сил, действующих по одну сторону от сечения, на ось, параллельную оси стержня в этом сечении.

Изгибающий момент M в сечении численно равен абсолютному значению алгебраической суммы статических моментов всех усилий, действующих по одну сторону от сечения, относительно центра тяжести сечения.

2.2. Правила построения эпюр внутренних усилий

После определения величины внутреннего усилия в сечении на эпюре (графике) должна быть отложена соответствующая ордината. Построение эпюр в строительной механике подчиняется следующим правилам.

Эпюра M

1. Ординаты эпюры в сечениях стержней откладываются со стороны растянутых волокон.
Определить, какие волокна в сечении растянуты, можно по направлению в сечении вектора M (рис. 2.1):

2. Знаки ординат на эпюре определяются с помощью произвольно поставленного пунктира, отмечающего любые внешние волокна стержня. Ординаты построенной эпюры M, оказавшиеся со стороны тех же волокон, что и пунктир, считаются положительными. С противоположной пунктиру стороны – отрицательными.
Положение пунктира сохраняется на всех эпюрах.

Эпюра Q

1.Знак ординаты эпюры Q находится из зависимости:

(2.1).

Вводится правило задания положительного направления оси стержня x: при движении в положительном направлении оси стержня пунктир остается справа (рис.2.2):

В этом случае приращение и знак Q определяется знаком приращения . Например (рис. 2.3):

2. Положительные ординаты эпюры Q откладываются в сечениях стержней со стороны, обратной пунктиру.

Заметим, что в строительной механике знак ординаты на эпюрах M и Q не связан с направлением вектора усилий.

Направление вектора Q в сечении находится по правилу тупого угла: если двигаться по эпюре M к сечению, то вектор Q составляет тупой угол с касательной к эпюре M. Естественно, вектор Q перпендикулярен оси стержня (рис.2.4).

Рис. 2.4.

Рис. 2.5.

З а м е ч а н и е. Зависимость (2.1) дает еще один способ вычисления величины перерезывающей силы в сечении: как следует из геометрического смысла производной Q численно равна тангенсу угла между касательной к эпюре M и осью стержня. Особенно удобно пользоваться этим способом определения Q на участке стержневой системы, где эпюра M – линейна (рис.2.5):

(2.2).

Здесь - ординаты эпюры моментов в начальном (н) и конечном (к) сечениях участка. Начальное и конечное сечение участка назначаются следующим образом: двигаясь по стержню от начального к конечному сечению, мы движемся в положительном направлении оси стержня (пунктир справа).

Эпюра N

Продольные силы, действующие от сечения, т.е. растягивающие стержень, считаются положительными (рис.2.6)

Положительные ординаты эпюры N откладываются в сечениях стержней со стороны, обратной пунктиру (как ординаты эпюры Q).

2.3. Построение эпюр усилий в простых балках

Продемонстрируем применение изложенных выше правил на простых примерах.

З а д а ч а 1. Построить эпюры усилий в шарнирно-опертой балке, загруженной в центральном сечении силой P (рис. 2.7).

Статический расчет начнем с определения опорных реакций. Балка опирается на три связи, не параллельные и не пересекающиеся в одной точке. Это минимальное количество связей, которое обеспечивает и статическую определимость и геометрическую неизменяемость системы. Зададим произвольные направления составляющих опорных реакций: .

Составим три уравнения равновесия для всей системы:

Рис. 2.7.

Из третьего и второго уравнений определяем:

Для построения эпюр выделим на балке два участка: I и II, разделенных точкой приложения силы P. Наметим на каждом участке сечение с текущей координатой x. Вычислим в нем усилия M и Q по правилам, приведенным в начале раздела 2 (рис.2.8).

Направление вектора определяется из того условия, что выделенная часть балки должна находиться в равновесии. В частности, момент внешних и внутренних усилий относительно центра тяжести сечения x должен быть равен нулю. Момент внешней силы в сечении x действует по часовой стрелке. Внутренний момент, уравновешивая его, действует в противоположном направлении. Таким образом, в каждом сечении x растянуты нижние волокна, со стороны которых откладываются ординаты линейной эпюры I участка.

На II участке из двух внешних сил и больший момент в любом сечении создает сила . Внутренний момент направлен так, чтобы компенсировать момент внешних сил в сечении x. Он растягивает нижние волокна. На них строится линейная эпюра M II участка.

Отметим пунктиром нижние волокна балки. Ординаты построенной эпюры M находятся со стороны тех же волокон, что и пунктир, следовательно, они положительны.

Перейдем к построению эпюры Q. Величины перерезывающих сил на обоих участках балки одинаковы и равны по /2. На участке I ординаты эпюры Q положительны, так как при движении по балке в положительном направлении оси x (слева направо) растут положительные ординаты эпюры M и на участке. На II участке положительные ординаты эпюры M уменьшаются, здесь и эпюра Q отрицательна.

Эпюра продольных усилий не строится, так как значение N в любом сечении равно нулю.

Задача 2. Шарнирно-опертая балка под действием равномерно распределенной нагрузки (рис. 2.9).

Рис. 2.9.

Определение опорных реакций (порядок уравнений равновесия изменен для удобства.)

Рассмотрим часть балки по левую сторону от сечения с координатой x (рис. 2.10):

На базе правил вычисления усилий (см. раздел 2.1) запишем функции, определяющие внутренние усилия в сечении x :

В любом сечении x балки внутренний момент направлен против часовой стрелки. Он уравновешивает результирующий момент внешних сил и , который направлен по часовой стрелке, так как преобладающим в любом сечении является момент силы . Заметим, что функция является квадратичной параболой. В общем случае функция записывается выражением . Три коэффициента определяют вид параболы. Следовательно, для построения графика функции достаточно определить ординаты трех точек, через которые проходит парабола. Для построения эпюры в рассматриваемом случае имеем:

, , .

Через три ординаты: 0, , 0 проводится на растянутых нижних волокнах квадратичная парабола, т.е. график функции . Проведем пунктир на нижних волокнах балки. Тогда ординаты эпюры M оказываются положительными.

Функция изменяется по длине балки по линейному закону. Для построения линейной эпюры вычислим величины перерезывающих сил и определим знаки (рис. 2.11) соответствующих ординат в двух крайних сечениях:

Отложив и с учетом знака, соединяем их прямой линией. Обратим внимание на то, что в точке, где ордината эпюры моментов имеет экстремальное значение, согласно зависимости (2.1).

Задача 3. Шарнирно-опертая балка, загруженная в центральном сечении сосредоточенным моментом (рис. 2.12).

Рис. 2.12.

Определение опорных реакций:

.

.

.

Изменяем направление вектора на противоположное, так как исходное направление не отвечает условиям равновесия

Заметим, что перед построением эпюр направление векторов реакций всегда должно соответствовать положительному значению реакций. Иначе невозможно правильно определить направление изгибающих моментов и продольных сил в сечениях.

Найдем внутренние усилия на I участке в сечении с координатой x, отсчитываемой от левого конца балки и на II участке в сечении с координатой , отсчитываемой от правого конца (рис. 2.13).

Получаем, что на I участке эпюра M изменяется по линейному закону от значения 0 до значения . Ординаты эпюры M откладываются со стороны верхних, растянутых волокон. На II участке картина аналогичная, но растянуты нижние волокна.

Ординаты эпюры Q постоянны на обоих участках и равны . Их знак – отрицательный, так как при движении по оси балки слева направо (в положительном направлении оси ) ординаты эпюры M убывают и .

Рассмотрим, но не так подробно, примеры построения эпюр усилий в консольных балках (рис. 2.14, а-в).

Во всех случаях нагружения для построения эпюр M и Q опорные реакции можно не искать. Для определения величин внутренних усилий достаточно знать внешние усилия, действующие по одну сторону от сечения. На рис.2.14 приведены формулы для вычисления внутренних усилий в сечениях с координатой x, отсчитываемой от правого конца балок. Придавая x конкретные значения на промежутке , строим эпюры усилий. Отметим, что для построения линейной эпюры нужно знать ординаты в двух сечениях балки, для построения квадратичной параболы – в трех.

2.4. Свойства эпюр внутренних усилий

Анализируя эпюры усилий, построенные в простых балках (см. раздел 2.3), делаем следующие выводы о свойствах эпюр на прямолинейных участках стержней.

Эпюра М

1. На незагруженном участке эпюра M изменяется по линейному закону.

2. На участке, загруженном равномерно распределенной нагрузкой, перпендикулярной оси стержня, эпюра M изменяется по закону квадратичной параболы. Эпюра имеет выпуклость в направлении действия нагрузки.

3. В точке приложения сосредоточенной силы, перпендикулярной оси стержня, эпюра M имеет излом. Острие излома направлено в ту же сторону, что и внешняя сила.

4. В точке приложения сосредоточенного момента на эпюре M имеется скачок на величину этого момента.

Эпюра Q

1. На незагруженном участке эпюра Q постоянна.

2. На участке, загруженном равномерно распределенной нагрузкой, перпендикулярной оси стержня, эпюра Q изменяется по линейному закону.

3. В точке приложения сосредоточенной силы, перпендикулярной оси стержня, на эпюре Q имеется скачок на величину этой силы.

Приведем здесь и свойства эпюры N, хотя примеров ее построения еще не было.

Эпюра N

1. На незагруженном участке эпюра N постоянна.

2. На участке, загруженном равномерно распределенной нагрузкой, касательной к оси стержня, эпюра N изменяется по линейному закону (рис. 2.15).

3. В точке приложения сосредоточенной силы, касательной к оси стержня, на эпюре N имеется скачок на величину этой силы (рис. 2.16).

При построении эпюр нужно иметь в виду еще одно правило соответствия эпюр: на участке, загруженном равномерно распределенной нагрузкой, перпендикулярной оси стержня, в сечении, где , функция M имеет экстремальное значение. Это следует из зависимости , так как условие есть необходимое условие экстремума функции M. Сказанное позволяет уточнять вид эпюры M, построенной по трем ординатам. В сечении, где , эпюру M следует изображать так, чтобы ордината имела экстремальное значение, а касательная к эпюре была параллельна оси стержня.

2.5. Построение эпюр M и Q на участке, загруженном равномерно распределенной нагрузкой

В этом разделе будут предложены формулы и приемы, упрощающие построение эпюр на участках с равномерно распределенной нагрузкой.

Выделим из стержневой системы прямолинейный участок, загруженный равномерно распределенной нагрузкой, перпендикулярной оси стержня. Воздействие отброшенных частей заменим внутренними усилиями в крайних сечениях. Направление векторов усилий должно быть положительным, иначе невозможно будет пользоваться полученными ниже формулами. Но в строительной механике введены правила знаков не для векторов усилий M и Q, а для ординат эпюр. При этом знаки зависят от выбранного на стержне положения пунктира.

Учитывая сказанное, отметим пунктиром нижние волокна на рассматриваемом участке (рис. 2.17) и свяжем положительные направления векторов усилий с положительными ординатами соответствующих эпюр. Предварительно введем индексы "н" (начальное) и "к" (конечное) для крайних сечений участка. Сечения обозначены исходя из условия, что путь от начального к конечному сечению должен осуществляться в положительном направлении оси стержня (см. рис. 2.2).

Изображенные на рис. 2.17 векторы и растягивают нижние волокна, отмеченные пунктиром. Им отвечают положительные ординаты эпюры M, поэтому и векторы считаем положительными. Положительное направление векторов и может быть получено из рассмотрения условий равновесия участка, где положительна эпюра Q (рис.2.17).

Рассмотрим некоторые из условий равновесия участка и определим значения перерезывающих сил в крайних сечениях через значения , и (рис.2.18).

Рис. 2.18.

.

.

Объединяя полученные результаты, имеем:

(2.3).

Вычислим момент в центральном сечении

,

приведя подобные, получим

(2.4).

Отметим, что в (2.3) и (2.4) в общем случае значения и надо подставлять со своими знаками. Кроме того, для использования формул пунктир по отношению к нагрузке нужно располагать так, как показано на рис. 2.18. Формула (2.3) позволяет довольно просто определять две ординаты для построения на участке линейной эпюры Q. Формула (2.4) дает способ построения эпюры M на участке с равномерно распределенной нагрузкой, если известны моменты в крайних сечениях. Он заключается в следующем: откладываем в крайних сечениях ординаты и со своими знаками; соединяем их пунктирной прямой; в полученной трапеции вычисляем среднюю ординату, которая равна ; от этой точки в направлении действия нагрузки откладываем перпендикулярно оси ординату . По трем ординатам (в крайних сечениях и центральной точке) очерчивается квадратичная парабола.

Продемонстрируем на следующем примере, как упрощается статический расчет, если используются формулы (2.3) и (2.4). Построим эпюры M и Q в следующей балке (рис.2.19):

В данном случае нам не потребуется определять опорные реакции, что существенно упростит вычисления. На балке отмечаем три участка: I, II, III. Начнем расчет с определения моментов в сечениях над опорами (рис.2.20):

Откладываем полученные ординаты со стороны растянутых верхних волокон. На левой консоли в пределах I-го участка очерчиваем линейную эпюру M.

Следующие два участка загружены равномерно распределенной нагрузкой. Причем ординаты эпюр моментов в крайних сечениях участков известны. При построениии эпюр на этих участках действуем согласно предложенному выше правилу. Отметим пунктиром нижние волокна.

II участок. Соединяем ординаты -60 ( ) и –110 ( ) пунктирной прямой, средняя ордината полученной трапеции: -85. От этой точки вниз (в направлении действия q ) откладываем величину: . Окончательная ордината эпюры моментов в середине второго участка : –85+160=75. По трем ординатам: -60, +75, -110 строим параболу.

III участок. Соединяем ординаты в крайних сечениях -110 и 0 по линейному закону. Средняя ордината полученного треугольника -55. От нее вниз откладываем величину . Окончательно центральная ордината участка равна –40. Строим параболу на III участке по ординатам: -110, -40, 0.

Для построения постоянной эпюры Q на I участке определим величину Q в любом сечении участка (рис. 2.21).

Знак ординат эпюры Q – отрицательный (см. раздел 2.1). Для изображения линейной эпюры Q на II и III участках вычислим ординаты эпюр в крайних сечениях участков по формуле (2.3):

Откладываем вычисленные значения Q с учетом их знаков и соединяем прямой линией. Отметим, что разность ординат эпюр в крайних сечениях равна равнодействующей распределенной нагрузки на участке. После построения эпюры Q можно уточнить очертание эпюры M, так как теперь определена точка экстремума.

Скачки на полученной эпюре Q в точках А и В позволяют найти величины опорных реакций: , . При определении направления реакций нужно двигаться в положительном направлении оси стержня. Читатель может проверить, что реакции окажутся теми же, если их вычислять традиционным способом.