Расчет статически неопределимых рам методом сил

8.1 Основы метода сил

Как определено в разделе 1.2, к статически неопределимым относятся те стержневые системы, для которых одних уравнений статики недостаточно для определения всех опорных реакций и внутренних усилий. Метод сил - один из основных методов расчета статически неопределимых систем, а название его связано с тем, что в разрешающую систему уравнений в качестве неизвестных входят усилия – реакции внешних и внутренних связей.

Общее число реакций связей складывается из реакций связей и усилий в замкнутых контурах, а общее число уравнений статики (равновесия) - из трех уравнений для плоской системы в целом и уравнений в виде условий отсутствия изгибающего момента в каждом одиночном шарнире. Отсюда находится степень статической неопределимости, т.е. число так называемых лишних связей (наложенных на систему сверх минимума, обеспечивающего геометрическую неизменяемость и статическую определимость):

,

где - суммарная краткость всех шарниров или, проще, число одиночных шарниров.

Усилия в лишних связях принято называть лишними неизвестными (лишними только в смысле невозможности их определения с помощью одних уравнений статики). Отметим, что без лишних связей стержневая система не имеет резерва для сохранения геометрической неизменяемости в случае разрушения хотя бы одной связи.

Метод сил базируется на использовании основной системы. Основная система – стержневая система, полученная из заданной системы путем отбрасывания лишних связей. Основная система должна быть обязательно геометрически неизменяемой. При удалении всех лишних связей она становится и статически определимой (применение статически неопределимых основных систем в принципе возможно, здесь же будем использовать только статически определимые основные системы). Из одной и той же заданной статически неопределимой системы можно образовать множество различных основных систем, удовлетворяющих требованиям геометрической неизменяемости и статической определимости. Рассмотрим для примера раму на рис. 8.1,а. Рама имеет две лишние связи: . Основную систему можно образовать либо устранением двух опорных связей (рис. 8.1,б-г), либо врезанием двух шарниров (рис. 8.1,д,е). Все эти варианты основной системы отвечают требованию геометрической неизменяемости, а вот варианты на рис. 8.1,ж,з – нет.

Идея метода сил вытекает из рассмотрения основной системы в состоянии эквивалентном тому, в котором находится исходная стержневая система под действием заданной нагрузки. Вернемся к примеру рамы на рис. 8.1. Воспользуемся вариантом основной системы, показанным на рис. 8.1,б. Приложим к основной системе заданную нагрузку q и реакции устраненных связей (рис. 8.1,и). Основная система под действием совокупности q , должна быть эквивалентна исходной системе на рис. 8.1,а по распределению внутренних усилий, деформаций и перемещений, т.е. перемещения и по направлению устраненных связей должны быть равны нулю. Далее рассмотрим состояния основной системы под действием и внешней нагрузки (рис. 8.1,к-м). Используя принцип суперпозиции, можно получить условия для определения искомых значений :

,

.

Обобщая этот результат на n раз статически неопределимую систему будем иметь

, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(8.1)

Система (8.1) называется системой канонических уравнений метода сил. Любое i - ое уравнение системы отрицает перемещение основной системы, отвечающее по меcту и направлению искомому обобщенному усилию и вызванное совокупным действием искомых лишних неизвестных и внешней нагрузки.

Коэффициент означает перемещение, отвечающее усилию и вызванное действием . Свободный член представляет собой перемещение, отвечающее усилию , от действия внешней нагрузки. Все коэффициенты перед неизвестными и свободные члены уравнений в (8.1) – это перемещения в основной, т.е. статически определимой системе. Для их вычисления пригодны формулы и способы, приведенные в предыдущей главе.

Так, для рамы, составленной из относительно длинных стержней, можно пользоваться формулами

Если внешнее воздействие – температурное или в виде смещения опорных связей, то свободные члены вычисляются по формулам

,

,

cоответственно.

Отметим, что, независимо от вида внешнего воздействия, коэффициенты представляют собой перемещения от единичных усилий. При этом , что следует из теоремы о взаимности перемещений, а .

Для вычисления всех коэффициентов и свободных членов системы уравнений метода сил необходимо предварительно получить эпюры (или функции) от и от внешней нагрузки.

При температурном внешним воздействии кроме от необходимо , а в случае задания смещения опор – реакции этих же опор от .

По найденным в результате решения системы уравнений значением определяются окончательные ординаты изгибающего момента:

(при воздействиях в виде изменения температуры и смещения опор не существуют).

П р и м е р 8.1. Требуется построить эпюры внутренних усилий в раме (рис. 8.2,а), составленной из относительно тонких стержней. Рама содержит одну лишнюю связь (). Основную систему можно образовать врезанием одного шарнира или удалением любой горизонтальной опорной связи (рис. 8.2,б). Для приведения основной системы в соответствие эквивалентное исходному, необходимо приложить к ней вместе с указанной нагрузкой реакцию удаленной связи (рис. 8.2,в).

Система уравнений метода сил сводится в данном случае к одному уравнению , отрицающему горизонтальное перемещение правой опоры под действием искомого и заданной нагрузки. Далее строим эпюры от = 1 (рис. 8.2,г) и от заданной нагрузки (рис. 8.2,д). Эпюра удобны при использовании формулы Симпсона для вычисления интегралов:

Решая уравнение, находим

Окончательная эпюра изгибающего момента строится в соответствии с выражением (рис. 8.2,е), а по ней строятся эпюры Q и N (рис. 8.2,ж,з).

П р и м е р 8.2. Требуется построить эпюры внутренних усилий в раме (рис. 8.3,а), составленной из относительно тонких стержней. Число лишних связей у рамы .

Рис. 8.3.

,

.

Первое уравнение отрицает поворот сечения в месте приложения , под воздействием искомых реакций удаленных связей и , а также заданной нагрузки; второе уравнение отрицает расхождение точек приложения усилий под теми же воздействиями.

Далее строим эпюры ( от = 1 ) , ( от = 1 ) и от заданной нагрузки. Коэффициенты и свободные члены системы уравнений вычисляем по формуле Максвелла-Мора с использованием метода Симпсона при интегрировании:

Решая систему

получим

Окончательная эпюра изгибающего момента получается с помощью выражения . Для удобства построения этой эпюры можно построить и (рис. 8.3,ж,з). Окончательная эпюра показана на рис. 8.3,и. По ней строятся эпюры Q и N (рис. 8.3,к,л).

8.2. Матричная форма метода сил

Ограничимся рассмотрением систем, составленных из относительно тонких стержней и подверженных только силовому воздействию. Тогда система (8.1) уравнений метода сил может быть представлена в матричной записи так:

(8.2)

где

, , .

Каждый элемент матрицы [D] является перемещением, вызванным в основной системе единичным усилием. Так , есть перемещение , отвечающее по месту и направлению усилия и вызванное единичным усилием . Перемещение , вызванное единичным обобщенным усилием, принято называть податливостью. Матрица [D] поэтому может быть названа матрицей податливости основной системы на действие лишних неизвестных, составляющих вектор . Матрица - вектор обобщенных перемещений, отвечающих лишним неизвестным в основной системе, под действием заданной внешней нагрузки, т.е. в грузовом состоянии.

Из теоремы о взаимности работ следует симметрия матрицы [ D] , т.к. .

Кроме того, элемента главной диагонали , т.к. .

Матричное выражение для формирования вектора уже было получено в разделе 7.6 (формула (7.15)),т.е.,

(8.3)

где [ М ] - матрица, формируемая из ординат эпюр изгибающего момента в основной системе при ; [B] - матрица, составляемая из коэффициентов формулы Симпсона; - вектор, формируемый из ординат эпюры в основной системе от внешней нагрузки.

Поскольку столбцы матрицы [D] содержат аналогичные с перемещения, отвечающее усилиям , но вызванные не внешней нагрузкой, а последовательно прилагаемыми усилиями , то в формуле ( 8.3 ) следует заменить на [ M] и на [ D ] :

(8.4)

Система уравнений может быть теперь записана так:

(8.5)

По вектору [ X ] , найденному из решения системы, находится вектор из ординат окончательной эпюры изгибающего момента:

(8.6)

Приведенная здесь матричная форма не позволяет автоматизировать весь процесс расчета, т.к. перед формированием матриц [ M] и приходится строить эпюры . При решении задач с небольшим числом неизвестных она удобна для использования любых вычислительных средств.

П р и м е р 8.3. Вернемся к последнему примеру (см. рис. 8.3) и выполним всю вычислительную часть расчета в матричной форме. Примем порядок обхода участков, показанный на рис. 8.3,м. Сначала сформируем блоки матрицы [ B ]

Затем из ординат эпюр формируются матрицы [ M] и .

Множитель 1/ (6 EI ) можно не учитывать, т.к. он входит в левую и правую части системы и в итоге сокращается. (Вынесение 1/6 позволяет избежать иррациональных чисел в матрице [B] ).

Выполнив действие под матрицами по формулам (8.3) и (8.4), получим систему уравнений

и ее решение

Как видно, все коэффициенты и свободные члены системы уравнений отличаются от полученных ранее в 6ЕI раз, но значения лишних неизвестных не изменились. Далее выполняется операция

в результате которой находятся ординаты окончательной эпюры изгибающего момента (рис. 8.3,и).

8.3. Использование симметрии стержневой системы

Если стержневая система имеет хотя бы одну ось симметрии (по конфигурации, опиранию и распределению жесткости одновременно), то даже при произвольной нагрузке могут быть получены существенные упрощения задачи. Для этого необходимо сохранить симметрию и в основной системе, соблюдая при этом условие геометрической неизменяемости. Самый простой прием образования симметричной основной системы состоит в удалении всех (если это возможно) лишних связей на оси симметрии. Рассмотрим для примера раму на рис. 8.4,а. У нее есть ось симметрии (о,с.) и три лишних связи. Все лишние связи могут быть удалены на оси симметрии разрезанием стержня (рис. 8.4,б). Даже без построения эпюр изгибающего момента по одной эквивалентной системе (рис. 8.4,в) можно сделать вывод о том, что усилия оказывают на основную систему симметричное воздействие, а - антисимметричное. Это означает, что эпюры симметричные, а - антисимметричные (вид их показан на рис. 8.4,г-е).

Поскольку "перемножение" симметричной эпюры на антисимметричную приводят к нулевому результату, то

и .

Какой бы ни была внешняя нагрузка, система уравнений третьего порядка распадается на две:

,

Если же и внешняя нагрузка обладает симметрией, то и , т.е. .

При антисимметричной нагрузке эпюры также антисимметрична и

, , т.е. .

Отсюда следует вывод: в симметричной стержневой системе при симметричной нагрузке отсутствуют антисимметричные лишние неизвестные, а при антисимметричной нагрузке нулевыми являются симметричные лишние неизвестные.

П р и м е р 8.4. Требуется построить эпюру изгибающего момента в раме на рис. 8.5,а. Рама дважды статически неопределима, симметрична геометрически и по нагружению. Обе лишние связи удается устранить на оси симметрии разрезкой по шарниру (рис. 8.5,б).

Как известно, при симметричной нагрузке на оси симметрии отсутствуют кососимметричные усилия, т.е. в эквивалентной системе (рис. 8.5,в). Далее достаточно рассматривать любую половину от оси симметрии часть рамы. Эпюры от от внешней нагрузки для левой половины показаны на рис. 8.5, г,д.

Уравнение отрицает взаимное горизонтальное перемещение точек приложения под действием самого этого усилия и внешней нагрузки. Далее находим:

Окончательная эпюра изгибающего момента показана на рис. 8.5,е.

Сведение задачи с двумя неизвестными лишними усилиями к одному уравнению возможно и удалением лишних связей вне оси симметрии. Так, на рис. 8.5,ж показана другая основная система – без двух катковых опор. При симметричной нагрузке реакции этих опор должны быть одинаковыми, т.е. . Далее при построении эпюры обе реакции =1 прикладываются к основной системе одновременно.

8.4. Определение перемещений в статически неопределимых системах. Деформационная проверка в методе сил

Формула (7.7) Максвелла-Мора позволяет определять перемещения от силовых воздействий в любых стержневых системах – статически определимых и неопределимых. Ограничимся случаем, когда достаточно учитывать только изгибные деформации, т.е.

.

Для вычисления только одного перемещения необходимо построить две эпюры: - от единичной обобщенной силы, отвечающей искомому перемещению по месту и направлению, и - от заданного воздействия. Если стержневая система n-раз статически неопределима, то повторение процедуры метода сил ради получения эпюры может только затруднить задачу. Возможность упрощения задачи есть.

Пусть требуется определить некоторое перемещение в раме на рис. 8.6,а.

Данная рама дважды статически неопределима. Рассчитав раму методом сил на единичную обобщенную силу , приложенную по направлению искомого перемещения, а затем на заданную внешнюю нагрузку, можно получить эпюры и . Их вид показан на рис. 8.6,б,в. Промежуточным этапом второго расчета (на заданную нагрузку) является основная система в состоянии, эквивалентном исходной задаче (рис. 8.6, г). Эквивалентность систем на рис. 8.6,а и рис. 8.6,г означает не только одинаковость окончательных эпюр, но и равенство искомых перемещений . Но рама на рис. 8.6, г является статически определимой, т.е. эпюра может быть построена в статически определимой основной системе.

Итогом подобных рассуждений являются три варианта пользования формулой (7.10):

1. Эпюры и получаются для заданной статически неопределимой системы;

2. Эпюра получается для заданной статически неопределимой системы, а - для любой основной системы, в том числе статически определимой ;

3. Эпюра получается для любой основной системы, а - для заданной статически неопределимой.

Обобщая эти выводы на любые стержневые системы и любые внешние воздействия, можно сформулировать следующее:

при определении перемещений в статически неопределимых системах одно из двух состояний (под действием единичной обобщенной силы или под внешним воздействием) должно быть рассмотрено для заданной статически неопределимой системы, а второе – может быть рассмотрено или для заданной или для основной, в том числе статически определимой, системы.

Теперь обратимся к вопросу проверки правильности расчета системы методом сил. Результаты расчета статически неопределимой системы должны безусловно удовлетворять условиям равновесия узлов и любых других фрагментов системы. Однако положительный результат проверки равновесия не гарантирует верность решения. Дело в том, что если в выражении для окончательного момента: эпюры отвечают условиям равновесия, то и окончательные значения тоже будут удовлетворять этим условиям при любых значениях .

Более надежной является так называемая деформационная проверка, смысл которой состоит в проверке отсутствия перемещений в направлении тех связей, которые не удалялись из заданной системы при образовании основной статически определимой системы. Проверка выполняется следующим образом: после получения окончательной эпюры изгибающего момента выбирается новая основная система, в которой ранее удаляемые связи должны сохраняться. В направлении любой ( i - ой ) вновь удаленной связи определяется перемещение от заданной нагрузки. Для этого к новой основной системе прилагается соответствующая единичная обобщенная сила и строится эпюра , с помощью которой вычисляется

(8.7)

Значение должно быть нулевым, но, вследствие почти неизбежных ошибок, оно может отличаться от нуля. Погрешность следует оценивать в процентах, сопоставляя суммы положительных и отрицательных чисел, составляющих . Подобных проверок можно сделать множество, т.к. из любой статически неопределимой системы можно образовать сколь угодно много статически определимых основных систем. Считается достаточным выполнить n проверок, используя одну и ту же или разные основные системы.

П р и м е р 8.5. Выполним деформационную проверку решения, полученного в примере 8.2 ( см. рис. 8.3 ). Выберем новую основную систему ( рис. 8.7, а ).

Проверим отсутствие перемещений в направлении устраненных связей: вертикального перемещения на месте правой катковой опоры и угла раскрытия введенного в контур шарнира. Для этого прикладываем к новой основной системе усилия (рис. 8.7,б,в) и строим от них эпюры . Далее вычисляем по ( 8.7 ) , перемещения и на базе эпюр и эпюры , показанной на рис. 8.3, и :

Погрешности вычислений составляют, соответственно: